Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x)$

Étape 1

Écrivez $\arctan (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \arctan (x)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez.

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Étape 2.1.2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.1.2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 2.1.2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.1.2.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 2.1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 2.1.2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 2.1.2.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{4}{25}$ .

$- \frac{4}{25}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8