Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Étape 1

Écrivez $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Étape 2.1.1.6.2

Additionnez $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$36 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 2.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 + 0$

Étape 2.1.2.5.2

Additionnez $36 x^{2} - 24 x - 12$ et $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x - 12$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} - 24 x - 12$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} - 24 x - 12 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} - 24 x - 12 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2} - 24 x - 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 24 x - 12 = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 24 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) - 12 = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 12$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) + 12 (- 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 1)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$12 (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$12 (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$12 ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 2.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (3 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{1}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 - 12$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = 36 \cdot 9 - 24 \cdot - 3 - 12$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $9$ .

$f'' (- 3) = 324 - 24 \cdot - 3 - 12$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = 324 + 72 - 12$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $324$ et $72$ .

$f'' (- 3) = 396 - 12$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $12$ de $396$ .

$f'' (- 3) = 384$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $384$ .

$384$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{3})$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{1}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{1}{3}, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 - 12$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 12$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 12$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 12$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f'' (0) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{1}{3}, 1)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{1}{3}, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 - 12$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 24 \cdot 4 - 12$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $36$ par $16$ .

$f'' (4) = 576 - 24 \cdot 4 - 12$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f'' (4) = 576 - 96 - 12$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Soustrayez $96$ de $576$ .

$f'' (4) = 480 - 12$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $12$ de $480$ .

$f'' (4) = 468$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $468$ .

$468$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{1}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{1}{3}, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9