Calcul infinitésimal Exemples

$A (x) = x \sqrt{x + 5}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.8.3

Placez ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.12.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.1.14

Multipliez ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.1.15

Pour écrire ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.16

Associez ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.18

Multipliez ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.18.1

Déplacez ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.19

Simplifiez ${(x + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.20

Déplacez $2$ à gauche de $x + 5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 5)}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.21

Simplifiez

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Étape 1.1.1.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 5}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.21.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.21.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x + 10$ et $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.5

Différenciez.

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Étape 1.1.2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.5.5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.5.6.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.11

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.11.3

Placez ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.14

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 5}$

Étape 1.1.2.15

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 5}$

Étape 1.1.2.15.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$

Étape 1.1.2.15.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x + 5)}$

Étape 1.1.2.16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 5)}$

Étape 1.1.2.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.16.3.1

Ajoutez des parenthèses.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.2

Laissez $u_{2} = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 1.1.2.16.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.16.3.2.2.1

Déplacez $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.16.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.16.3.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.16.3.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.16.3.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.4.1.2

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 6 \cdot 5 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.4.1.4

Multipliez $6$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 30 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.4.2

Soustrayez $3 x$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 30 - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.3.4.3

Soustrayez $10$ de $30$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Étape 1.1.2.16.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.16.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$

Étape 1.1.2.16.4.2

Réécrivez $\frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 10}$

Étape 1.1.2.16.4.3

Multipliez $\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x + 10}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 10)}$

Étape 1.1.2.16.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.16.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 10$ .

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Étape 1.1.2.16.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 10)}$

Étape 1.1.2.16.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 5)}$

Étape 1.1.2.16.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 5))}$

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 5))}$

Étape 1.1.2.16.5.2

Associez les exposants.

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Étape 1.1.2.16.5.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (x + 5)}$

Étape 1.1.2.16.5.2.2

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 ((x + 5) {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.1.2.16.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.16.5.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.16.5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 1.1.2.16.5.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $A (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x + 20 = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 20$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 20$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 20$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 20}{3}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{20}{3}$

Étape 1.2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 2

Déterminez le domaine de $A (x) = x \sqrt{x + 5}$ .

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Étape 2.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 5}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 5 \geq 0$

Étape 2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 5$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - 5}$

Notation d’intervalle :

$[- 5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - 5}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$[- 5, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $[- 5, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$A'' (0) = \frac{3 (0) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $3 (0)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot 5}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 \cdot (0)) + 4 (5)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 ({((0) + 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 4.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$A'' (0) = \frac{3 \cdot (0) + 5}{{((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$A'' (0) = \frac{0 + 5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.6.1

Additionnez $0$ et $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{5^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.6.2

Placez $5^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Étape 4.2.7

Multipliez $5^{\frac{3}{2}}$ par $5^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1}}$

Étape 4.2.7.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.7.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 4.2.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 4.2.7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.7.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Étape 4.2.7.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.8

La réponse finale est $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $[- 5, \infty)$ car $A'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $[- 5, \infty)$ car $A'' (x)$ est positif

Étape 5