Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - x$ et $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.12

Additionnez $2 x + 3$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Développez $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.9

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.10

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3

Additionnez $- x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.4

Soustrayez $8 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.5

Multipliez $- - x$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.6

Développez $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.3.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.1.7

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.7.2

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ .

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Étape 1.1.1.3.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Additionnez $5 x^{2} - 11 x + 4$ et $0$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.3

Soustrayez $x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.4

Additionnez $- 11 x$ et $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 8 x + 4$ .

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Étape 1.1.1.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1.3.3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.3.4.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1.3.4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 1.1.1.3.4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Annulez le facteur commun de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.2.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Étape 1.1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ comme ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 1.1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.1.2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 1.1.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.5.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.4.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $8 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 1, - 4$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1, - 4}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1, - 4}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.1

Additionnez $- 6$ et $4$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Divisez $8$ par $- 8$ .

$f'' (- 6) = 1$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (- 6) = 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 4)$ car $f'' (- 6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 4, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.1

Additionnez $0$ et $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $64$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 4, 1)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 4, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $4$ et $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $512$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

Étape 6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $512$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Étape 6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{64}$ .

$- \frac{1}{64}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 4, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8