Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x^{2} + 12) (4 - x^{2})$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 12$ et $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Étape 1.1.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Étape 1.1.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Étape 1.1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Étape 1.1.1.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Étape 1.1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

Étape 1.1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

Étape 1.1.1.2.9

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + 0)$

Étape 1.1.1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x)$

Étape 1.1.1.2.10.2

Déplacez $2$ à gauche de $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + 2 \cdot ((4 - x^{2}) x)$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 (4 - x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + (2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x$

Étape 1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.3.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.4.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.4.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 \cdot x^{3} + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.4.3

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.4.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x + 2 (- x^{2}) x$

Étape 1.1.1.3.4.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{2} x$

Étape 1.1.1.3.4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 (x \cdot x^{2})$

Étape 1.1.1.3.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{1 + 2}$

Étape 1.1.1.3.4.8

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{3}$

Étape 1.1.1.3.4.9

Additionnez $- 24 x$ et $8 x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 16 x - 2 x^{3}$

Étape 1.1.1.3.4.10

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 16 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} - 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{2} - 16$ .

$- 12 x^{2} - 16$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{2} - 16 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 12 x^{2} - 16 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$- 12 x^{2} = 16$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 12 x^{2} = 16$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 12 x^{2} = 16$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{- 12}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $- 12$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$x^{2} = \frac{4 (4)}{- 12}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

Étape 1.2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Étape 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $- \frac{4}{3}$ comme $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

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Étape 1.2.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Étape 1.2.5.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Étape 1.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Étape 1.2.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 1.2.5.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.2.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.7.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.5.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.5.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.5.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.5.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.5.8

Associez $i$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 1.2.5.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} - 16$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 - 16$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 16$

Étape 4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f'' (0) = - 16$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$- 16$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Le graphe est concave vers le bas

Étape 5