Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{x^{2} - 9}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 9}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 9})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.3.2

Multipliez $x^{2} - 9$ par $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.3.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}})$

Étape 1.1.1.9

Associez $4$ et $\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.10.2.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 36}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 36) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 36) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 36) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36)) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36)) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 36)) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.6

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.7

Additionnez $- 8 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 36) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 36) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 36) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.1.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 36) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 36) ((x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 36) ((x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 36) ((x^{2} - 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 36) ((x^{2} - 9) (2 x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 36) (2 \cdot ((x^{2} - 9) x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} - 36) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} - 9)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.2

Réécrivez ${(x^{2} - 9)}^{2}$ comme $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} - 9) (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3

Développez $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} - 9) - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 9 \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.2

Soustrayez $9 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} - 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (- 18 x^{2}) - 8 \cdot 81) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.3.1.6.1

Multipliez $- 18$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} + 144 x^{2} - 8 \cdot 81) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 8$ par $81$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} + 144 x^{2} - 648) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x + 144 x^{2} x - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) + 144 x^{2} x - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) + 144 x^{2} x - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} + 144 x^{2} x - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{2} x - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 (x \cdot x^{2}) - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 (x \cdot x^{2}) - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{1 + 2} - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + (16 x^{2} - 4 \cdot - 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $- 36$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + (16 x^{2} + 144) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + (16 x^{2} + 144) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + (16 x^{2} + 144) (x^{2 + 1} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + (16 x^{2} + 144) (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11

Développez $(16 x^{2} + 144) (x^{3} - 9 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{2} (x^{3} - 9 x) + 144 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (- 9 x) + 144 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (- 9 x) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} (- 9 x) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} (- 9 x) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} (- 9 x) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 9 x^{2} x) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 9 x^{1 + 2}) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (- 9 x^{3}) + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multipliez $16$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} - 144 x^{3} + 144 x^{3} + 144 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multipliez $- 9$ par $144$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} - 144 x^{3} + 144 x^{3} - 1296 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.2

Additionnez $- 144 x^{3}$ et $144 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} + 0 - 1296 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.3

Additionnez $16 x^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x + 16 x^{5} - 1296 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.2

Additionnez $- 8 x^{5}$ et $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 144 x^{3} - 648 x - 1296 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.3

Soustrayez $1296 x$ de $- 648 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 144 x^{3} - 1944 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.4.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{5} + 144 x^{3} - 1944 x$ .

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Étape 1.1.2.5.4.1.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 144 x^{3} - 1944 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.2

Factorisez $8 x$ à partir de $144 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (18 x^{2}) - 1944 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.3

Factorisez $8 x$ à partir de $- 1944 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (18 x^{2}) + 8 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.4

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (x^{4}) + 8 x (18 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 8 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.5

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 8 x (- 243)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} + 18 u - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.4

Factorisez $u^{2} + 18 u - 243$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.2.5.4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 243$ et dont la somme est $18$ .

$- 9, 27$

Étape 1.1.2.5.4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 9) (u + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.5.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.6

Annulez le facteur commun à $x + 3$ et ${(x + 3)}^{4}$ .

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Étape 1.1.2.5.6.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $8 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((8 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.5.6.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((8 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Étape 1.1.2.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((8 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Étape 1.1.2.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(8 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.7

Annulez le facteur commun à $x - 3$ et ${(x - 3)}^{4}$ .

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Étape 1.1.2.5.7.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(8 x (x - 3)) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((8 x) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.5.7.2.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((8 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Étape 1.1.2.5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((8 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Étape 1.1.2.5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x (x^{2} + 27) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3.3

Définissez $x^{2} + 27$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Définissez $x^{2} + 27$ égal à $0$ .

$x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Résolvez $x^{2} + 27 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 27$

Étape 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Étape 1.2.3.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 27}$ .

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Étape 1.2.3.3.2.3.1

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Étape 1.2.3.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Étape 1.2.3.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Étape 1.2.3.3.2.3.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.3.3.2.3.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Étape 1.2.3.3.2.3.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.3.3.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Étape 1.2.3.3.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 x (x^{2} + 27) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x}{x^{2} - 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 3, - 3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 3, - 3}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 27)}{{((- 6) + 3)}^{3} {((- 6) - 3)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $8$ par $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 48 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 6 + 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 48 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 48 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 9)}^{3}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 48 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 {(- 9)}^{3}}$

Étape 4.2.2.4

Élevez $- 9$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 48 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 48 (36 + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $36$ et $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 48 \cdot 63}{- 27 \cdot - 729}$

Étape 4.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 27$ par $- 729$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 48 \cdot 63}{19683}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $- 48$ par $63$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 3024}{19683}$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun à $- 3024$ et $19683$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.3.1

Factorisez $27$ à partir de $- 3024$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 112)}{19683}$

Étape 4.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.3.2.1

Factorisez $27$ à partir de $19683$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 112}{27 \cdot 729}$

Étape 4.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 112}{27 \cdot 729}$

Étape 4.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{- 112}{729}$

Étape 4.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 6) = - \frac{112}{729}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $- \frac{112}{729}$ .

$- \frac{112}{729}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{8 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 27)}{{((- 2) + 3)}^{3} {((- 2) - 3)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 27)}{{(- 2 + 3)}^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 5)}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 {(- 5)}^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 \cdot - 125}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $- 125$ par $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 ({(- 2)}^{2} + 27)}{- 125}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 (4 + 27)}{- 125}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $4$ et $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 16 \cdot 31}{- 125}$

Étape 5.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 16$ par $31$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 496}{- 125}$

Étape 5.2.4.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f'' (- 2) = \frac{496}{125}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{496}{125}$ .

$\frac{496}{125}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 3, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{8 (2) ({(2)}^{2} + 27)}{{((2) + 3)}^{3} {((2) - 3)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 27)}{{(2 + 3)}^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $2$ et $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(- 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 27)}{125 {(- 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{16 (2^{2} + 27)}{125 \cdot - 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{16 (4 + 27)}{125 \cdot - 1}$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $4$ et $27$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot 31}{125 \cdot - 1}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $125$ par $- 1$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot 31}{- 125}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $16$ par $31$ .

$f'' (2) = \frac{496}{- 125}$

Étape 6.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (2) = - \frac{496}{125}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- \frac{496}{125}$ .

$- \frac{496}{125}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 3)$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = \frac{8 (6) ({(6)}^{2} + 27)}{{((6) + 3)}^{3} {((6) - 3)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $8$ par $6$ .

$f'' (6) = \frac{48 (6^{2} + 27)}{{(6 + 3)}^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $6$ et $3$ .

$f'' (6) = \frac{48 (6^{2} + 27)}{9^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{48 (6^{2} + 27)}{9^{3} \cdot 3^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = \frac{48 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 3^{3}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = \frac{48 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 27}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{48 (36 + 27)}{729 \cdot 27}$

Étape 7.2.3.2

Additionnez $36$ et $27$ .

$f'' (6) = \frac{48 \cdot 63}{729 \cdot 27}$

Étape 7.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Multipliez $729$ par $27$ .

$f'' (6) = \frac{48 \cdot 63}{19683}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $48$ par $63$ .

$f'' (6) = \frac{3024}{19683}$

Étape 7.2.4.3

Annulez le facteur commun à $3024$ et $19683$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.3.1

Factorisez $27$ à partir de $3024$ .

$f'' (6) = \frac{27 (112)}{19683}$

Étape 7.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.3.2.1

Factorisez $27$ à partir de $19683$ .

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 112}{27 \cdot 729}$

Étape 7.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 112}{27 \cdot 729}$

Étape 7.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = \frac{112}{729}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{112}{729}$ .

$\frac{112}{729}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9