Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 + 4 x^{2} - x^{4}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + 4 x^{2} - x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Additionnez $0$ et $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Étape 1.1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{2} + 8$ .

$- 12 x^{2} + 8$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{2} + 8 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 12 x^{2} + 8 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 12 x^{2} = - 8$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 12 x^{2} = - 8$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 12 x^{2} = - 8$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 8}{- 12}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 8}{- 12}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 12}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $- 12$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 8$ .

$x^{2} = \frac{- 4 (2)}{- 12}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 12$ .

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{2}{3}$

Étape 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.5.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 1.2.5.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = - 12 {(- 3)}^{2} + 8$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = - 12 \cdot 9 + 8$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 8$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 108$ et $8$ .

$f'' (- 3) = - 100$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 100$ .

$- 100$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ car $f'' (- 3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 8$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 8$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 8$

Étape 5.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$f'' (0) = 8$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $8$ .

$8$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = - 12 {(3)}^{2} + 8$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = - 12 \cdot 9 + 8$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$f'' (3) = - 108 + 8$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 108$ et $8$ .

$f'' (3) = - 100$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 100$ .

$- 100$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ car $f'' (3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8