Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 - 15 x + 9 x^{2} - x^{3}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 15 x + 9 x^{2} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$0 - 15 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 15 + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 15 + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$0 - 15 + 18 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 15 + 18 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 15 + 18 x - (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 - 15 + 18 x - 3 x^{2}$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.1

Soustrayez $15$ de $0$ .

$- 15 + 18 x - 3 x^{2}$

Étape 1.1.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 15$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 18 x - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x + 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$- 6 x + 18 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 x + 18 + 0$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $- 6 x + 18$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x + 18$ .

$- 6 x + 18$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x + 18 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 6 x + 18 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 x = - 18$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 6 x = - 18$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x = - 18$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 18$ par $- 6$ .

$x = 3$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 18$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 18$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $18$ .

$f'' (0) = 18$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $18$ .

$18$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 3)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = - 6 \cdot 6 + 18$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$f'' (6) = - 36 + 18$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 36$ et $18$ .

$f'' (6) = - 18$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 18$ .

$- 18$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7