Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

Étape 1.1.1.5.2

Additionnez $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$36 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Étape 1.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 24 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$36 x^{2} - 24 x - 24 \cdot 1$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} - 24 x - 24$ .

$36 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} - 24 x - 24 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} - 24 x - 24 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2} - 24 x - 24$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 24 x - 24 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $12$ à partir de $- 24 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) - 24 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $12$ à partir de $- 24$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) + 12 (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$ par $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (3 x^{2} - 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 2 x - 2$ par $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

$3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 1.2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.3

Additionnez $4$ et $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 1.2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 1.2.8.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 1.2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 1.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 - 24$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = 36 \cdot 9 - 24 \cdot - 3 - 24$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $36$ par $9$ .

$f'' (- 3) = 324 - 24 \cdot - 3 - 24$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = 324 + 72 - 24$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $324$ et $72$ .

$f'' (- 3) = 396 - 24$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $24$ de $396$ .

$f'' (- 3) = 372$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $372$ .

$372$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 - 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 24$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 24$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 24$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $24$ de $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 - 24$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 24 \cdot 4 - 24$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $16$ .

$f'' (4) = 576 - 24 \cdot 4 - 24$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f'' (4) = 576 - 96 - 24$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $96$ de $576$ .

$f'' (4) = 480 - 24$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $24$ de $480$ .

$f'' (4) = 456$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $456$ .

$456$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8