Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 3 x^{4} + 24 x^{3} - 48 x^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 48 (2 x)$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 12 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $72 x^{2}$ par rapport à $x$ est $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $72$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Étape 1.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $- 96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 96 x$ par rapport à $x$ est $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96 \cdot 1$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $- 96$ par $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 36 x^{2} + 144 x - 96$ .

$- 36 x^{2} + 144 x - 96$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 36 x^{2} + 144 x - 96 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 36 x^{2} + 144 x - 96 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 12$ à partir de $- 36 x^{2} + 144 x - 96$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 36 x^{2}$ .

$- 12 (3 x^{2}) + 144 x - 96 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 12$ à partir de $144 x$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x) - 96 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- 12$ à partir de $- 96$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x) - 12 \cdot 8 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 12 x) - 12 \cdot 8 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 (3 x^{2} - 12 x) - 12 (8)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 12 x + 8$ par $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{- 12}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $- 12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

Étape 1.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 12$ et $c = 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.7.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.3

Soustrayez $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.4

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.8.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Étape 1.2.8.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 36 {(0)}^{2} + 144 (0) - 96$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - 36 \cdot 0 + 144 (0) - 96$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 144 (0) - 96$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $144$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 96$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $96$ de $0$ .

$f'' (0) = - 96$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 96$ .

$- 96$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = - 36 {(2)}^{2} + 144 (2) - 96$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = - 36 \cdot 4 + 144 (2) - 96$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$f'' (2) = - 144 + 144 (2) - 96$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $144$ par $2$ .

$f'' (2) = - 144 + 288 - 96$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 144$ et $288$ .

$f'' (2) = 144 - 96$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $96$ de $144$ .

$f'' (2) = 48$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $48$ .

$48$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = - 36 {(6)}^{2} + 144 (6) - 96$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = - 36 \cdot 36 + 144 (6) - 96$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $36$ .

$f'' (6) = - 1296 + 144 (6) - 96$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $144$ par $6$ .

$f'' (6) = - 1296 + 864 - 96$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 1296$ et $864$ .

$f'' (6) = - 432 - 96$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $96$ de $- 432$ .

$f'' (6) = - 528$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 528$ .

$- 528$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8