Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 12 x^{2} - 12 x$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x - 12 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = 24 x - 12$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 + 0$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $24$ et $0$ .

$f'' (x) = 24$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24$ .

$24$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$24 = 0$

Étape 1.2.2

Comme $24 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Le graphe est concave vers le haut car la dérivée seconde est positive.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 4