Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x + 1 - x - - 1$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.2.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ comme ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Étape 1.1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Étape 1.1.2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Étape 1.1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.2.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 1.1.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.5.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.4.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 1}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 1}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 1}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.1

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{(- 3)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{- 27}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = \frac{4}{27}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{4}{{((0) + 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{1^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = - \frac{4}{1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1

Divisez $4$ par $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 4$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (0) = - 4$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 1, \infty)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7