Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $10$ .

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.1.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.1.1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 1.1.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 x - 20 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $20$ par $1$ .

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 1.1.2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 1.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.1.2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.1.2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 1.1.2.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 20$ .

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 + 40 \sin (2 x)$ .

$20 + 40 \sin (2 x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$40 \sin (2 x) = - 20$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $40 \sin (2 x) = - 20$ par $40$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $40 \sin (2 x) = - 20$ par $40$ .

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $40$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $40$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $20$ à partir de $- 20$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $20$ à partir de $40$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Étape 1.2.6

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 1.2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.3.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 1.2.6.3.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Étape 1.2.7

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 1.2.8.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 1.2.8.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Étape 1.2.8.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.8.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 1.2.8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 1.2.8.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 1.2.8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.8.3.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Étape 1.2.8.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Étape 1.2.9

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 1.2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.9.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 1.2.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.9.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.10

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 1.2.10.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{12} + π$

Étape 1.2.10.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 1.2.10.3

Associez les fractions.

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Étape 1.2.10.3.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 1.2.10.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Étape 1.2.10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.10.4.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Étape 1.2.10.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Étape 1.2.10.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{12}$

Étape 1.2.11

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

Étape 4.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $40$ par $0$ .

$f'' (0) = 20 + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $20$ et $0$ .

$f'' (0) = 20$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $20$ .

$20$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5