Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{\frac{2}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 2.1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 2.1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Étape 2.1.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Étape 2.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Étape 2.1.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.1.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.1.1.7.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.1.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 2.1.2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Étape 2.1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Étape 2.1.2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Étape 2.1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Étape 2.1.2.9

Associez $x^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.1.2.10

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Étape 2.1.2.11

Multipliez.

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Étape 2.1.2.11.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Étape 2.1.2.11.2

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 3.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Le graphe est concave vers le bas car la dérivée seconde est négative.

Le graphe est concave vers le bas

Étape 5