Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{x - 6}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{2}}{x - 6}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 6$ .

$\frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 6$ .

$\frac{2 \cdot (x - 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 12 x$ .

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Étape 2.1.1.3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 12$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x \frac{d}{d x} [x - 12] + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez.

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Étape 2.1.2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + (x - 12) \cdot 1) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1.2.4.6.1

Multipliez $x - 12$ par $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + x - 12) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.2

Factorisez $x - 6$ à partir de ${(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])$ .

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Étape 2.1.2.6.2.1

Factorisez $x - 6$ à partir de ${(x - 6)}^{2} (2 x - 12)$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.2.2

Factorisez $x - 6$ à partir de $- 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) + (x - 6) (- 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.2.3

Factorisez $x - 6$ à partir de $(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) + (x - 6) (- 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{{(x - 6)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.7.1

Factorisez $x - 6$ à partir de ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) \cdot 1}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.11.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12)}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12

Simplifiez

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Étape 2.1.2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.12.2.1.1

Développez $(x - 6) (2 x - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.12.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 12) - 6 (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.12.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.12.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.12.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.2.1.3

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 \cdot x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 12$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.2.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.12.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} + 24 x$ .

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Étape 2.1.2.12.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x + 72 + 0 + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.2.2

Additionnez $- 24 x + 72$ et $0$ .

$\frac{- 24 x + 72 + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.2.3

Additionnez $- 24 x$ et $24 x$ .

$\frac{0 + 72}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12.2.2.4

Additionnez $0$ et $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{72}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{72}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$72 = 0$

Étape 2.2.3

Comme $72 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{x - 6}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 6 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 6}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 6}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{72}{{((0) - 6)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.1

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{72}{{(- 6)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{72}{- 216}$

Étape 5.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun à $72$ et $- 216$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Factorisez $72$ à partir de $72$ .

$f'' (0) = \frac{72 (1)}{- 216}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Factorisez $72$ à partir de $- 216$ .

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Étape 5.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{1}{- 3}$

Étape 5.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 6)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 6)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f'' (8) = \frac{72}{{((8) - 6)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Soustrayez $6$ de $8$ .

$f'' (8) = \frac{72}{2^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (8) = \frac{72}{8}$

Étape 6.2.2

Divisez $72$ par $8$ .

$f'' (8) = 9$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(6, \infty)$ car $f'' (8)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 6)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8