Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 2.1.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 2.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.1.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Étape 2.1.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.16

Associez $- 2$ et $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18

Simplifiez

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Étape 2.1.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2} + 2$ .

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Étape 2.1.2.18.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 1)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Étape 2.1.2.18.10

Multipliez $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 1$ par $1$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 1$

Étape 2.2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 2.2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.2.3.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.3.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.2.3.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.3.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2.3.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.3.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.3.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.3.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.3.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.2.3.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2} + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = \frac{2 (3 {(- 3)}^{2} - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 (3 \cdot 9 - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 (27 - 1)}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $1$ de $27$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{{({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{{(9 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{10^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 26}{1000}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $26$ .

$f'' (- 3) = \frac{52}{1000}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $52$ et $1000$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 (13)}{1000}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1000$ .

$f'' (- 3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (0) = \frac{- 2}{1}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$f'' (0) = - 2$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = \frac{2 (3 {(3)}^{2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f'' (3) = \frac{2 (3 {(3)}^{2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (3) = \frac{2 (3^{1 + 2} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (3) = \frac{2 (3^{3} - 1)}{{({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (3) = \frac{2 (27 - 1)}{{(3^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1$ de $27$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{{(3^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{{(9 + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.3.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{10^{3}}$

Étape 7.2.3.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 26}{1000}$

Étape 7.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $2$ par $26$ .

$f'' (3) = \frac{52}{1000}$

Étape 7.2.4.2

Annulez le facteur commun à $52$ et $1000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$f'' (3) = \frac{4 (13)}{1000}$

Étape 7.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1000$ .

$f'' (3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

Étape 7.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (3) = \frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 250}$

Étape 7.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9