Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$7 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$7 + 5 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$7 - 5 x^{- 2}$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{- 2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x^{- 3} + 0$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $10 x^{- 3}$ et $0$ .

$10 x^{- 3}$

Étape 1.1.2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.4.3

Associez $10$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{10}{x^{3}}$ .

$\frac{10}{x^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{10}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{10}{x^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$10 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $10 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez la base dans $x^{- 1}$ égale à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{10}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{10}{- 8}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $- 8$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (5)}{- 8}$

Étape 4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{5}{- 4}$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 2) = - \frac{5}{4}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{10}{{(2)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{10}{8}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $8$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f'' (2) = \frac{2 (5)}{8}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (2) = \frac{5}{4}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7