Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{7} + 5$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{7} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.1.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 x^{6} + 0$

Étape 1.1.1.4

Additionnez $7 x^{6}$ et $0$ .

$f' (x) = 7 x^{6}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{6}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$7 (6 x^{5})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $6$ par $7$ .

$f'' (x) = 42 x^{5}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $42 x^{5}$ .

$42 x^{5}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $42 x^{5} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$42 x^{5} = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $42 x^{5} = 0$ par $42$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $42 x^{5} = 0$ par $42$ .

$\frac{42 x^{5}}{42} = \frac{0}{42}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $42$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{42 x^{5}}{42} = \frac{0}{42}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{42}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $42$ .

$x^{5} = 0$

Étape 1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 1.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 42 {(- 2)}^{5}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f'' (- 2) = 42 \cdot - 32$

Étape 4.2.2

Multipliez $42$ par $- 32$ .

$f'' (- 2) = - 1344$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 1344$ .

$- 1344$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = 42 {(2)}^{5}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f'' (2) = 42 \cdot 32$

Étape 5.2.2

Multipliez $42$ par $32$ .

$f'' (2) = 1344$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1344$ .

$1344$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7