Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(6 - x)}^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez ${(6 - x)}^{2}$ comme $(6 - x) (6 - x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((6 - x) (6 - x)))$

Étape 1.1.1.2

Développez $(6 - x) (6 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 (6 - x) - x (6 - x)))$

Étape 1.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)))$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

Étape 1.1.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)))$

Étape 1.1.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)))$

Étape 1.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))$

Étape 1.1.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))$

Étape 1.1.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))$

Étape 1.1.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}))$

Étape 1.1.1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}))$

Étape 1.1.1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 12 x + x^{2}))$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 36 - 12 x + x^{2}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (36 - 12 x + x^{2}) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $36 - 12 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (36) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.2

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x (0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.4

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (- 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.6

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = x (- 12 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \cdot 1$

Étape 1.1.1.5.9

Multipliez $36 - 12 x + x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x \cdot - 12 + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Étape 1.1.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.6.2.1

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - 12 \cdot x + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Étape 1.1.1.6.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Étape 1.1.1.6.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Étape 1.1.1.6.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{1 + 1} + 36 - 12 x + x^{2}$

Étape 1.1.1.6.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{2} + 36 - 12 x + x^{2}$

Étape 1.1.1.6.2.6

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = - 24 x + 2 x^{2} + 36 + x^{2}$

Étape 1.1.1.6.2.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = - 24 x + 3 x^{2} + 36$

Étape 1.1.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 24 x + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + 0$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $6 x - 24$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 24 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 24$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 24$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 24$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $24$ par $6$ .

$x = 4$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 6 (0) - 24$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Étape 4.2.2

Soustrayez $24$ de $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 4)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = 6 (6) - 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f'' (6) = 36 - 24$

Étape 5.2.2

Soustrayez $24$ de $36$ .

$f'' (6) = 12$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(4, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7