Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x + 6)}^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Réécrivez ${(x + 6)}^{2}$ comme $(x + 6) (x + 6)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((x + 6) (x + 6)))$

Étape 1.1.1.2

Développez $(x + 6) (x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x (x + 6) + 6 (x + 6)))$

Étape 1.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)))$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6))$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6))$

Étape 1.1.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6))$

Étape 1.1.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 6 x + 6 x + 36))$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 12 x + 36))$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 12 x + 36$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 12 x + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (2 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.5

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = x (2 x + 12 + \frac{d}{d x} (36)) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.6

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x (2 x + 12 + 0) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.7

Additionnez $2 x + 12$ et $0$ .

$f' (x) = x (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 x + 12) + (x^{2} + 12 x + 36) \cdot 1$

Étape 1.1.1.5.9

Multipliez $x^{2} + 12 x + 36$ par $1$ .

$f' (x) = x (2 x + 12) + x^{2} + 12 x + 36$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

Étape 1.1.1.6.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

Étape 1.1.1.6.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

Étape 1.1.1.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

Étape 1.1.1.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + x \cdot 12 + x^{2} + 12 x + 36$

Étape 1.1.1.6.2.5

Déplacez $12$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 12 \cdot x + x^{2} + 12 x + 36$

Étape 1.1.1.6.2.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 12 x + 36$

Étape 1.1.1.6.2.7

Additionnez $12 x$ et $12 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 36$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 24 x + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 + \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 + 0$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $6 x + 24$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 24$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x + 24$ .

$6 x + 24$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x + 24 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x + 24 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = - 24$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = - 24$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = - 24$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 24}{6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 24}{6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 24}{6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 24$ par $6$ .

$x = - 4$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = 6 (- 6) + 24$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 24$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 36$ et $24$ .

$f'' (- 6) = - 12$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 4)$ car $f'' (- 6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 6 (0) + 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

Étape 5.2.2

Additionnez $0$ et $24$ .

$f'' (0) = 24$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 4, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7