Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 1.1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 1.1.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 1.1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 1.1.1.2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.1.1.2.9

Associez $- 3$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.1.1.2.10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.11

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.1.1.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.1.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.6.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 1.1.2.2.6.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.6.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.10.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.12

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.13

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.14

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.2.14.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.14.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.14.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.15

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.16

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.17

Multipliez $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.18

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ par $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.1.2.2.19

Additionnez $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$x - 3 \sqrt[3]{x^{1}}$

Étape 2.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Étape 2.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Le graphe est concave vers le haut car la dérivée seconde est positive.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 4