Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 1 + 3 \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 1.1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (1 - x))$

Étape 1.1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))$

Étape 1.1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))))$

Étape 1.1.1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x))))$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x)))$

Étape 1.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))$

Étape 1.1.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Étape 1.1.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Étape 1.1.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Étape 1.1.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Étape 1.1.1.2.10.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Étape 1.1.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Étape 1.1.1.2.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1)))$

Étape 1.1.1.2.13

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1)$

Étape 1.1.1.2.14

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1)$

Étape 1.1.1.2.15

Associez $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3})$

Étape 1.1.1.2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 1.1.1.2.17

Réécrivez $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ comme $- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 1.1.1.2.18

Placez ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.2.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 + 3 (- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.2.20

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.21

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.22

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.23

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.23.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.1.1.2.23.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.23.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.24

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ comme ${({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.1.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 1.1.2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot {(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x))))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.10

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.2.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.10.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 1.1.2.2.10.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.10.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.11

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.12

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.2.14.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.14.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.17

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 1)) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.18

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 1)) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.19

Associez $\frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 1}{3}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.20

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{- 2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.21

Placez ${(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{- 2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.23

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (1 {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.24

Multipliez ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - ({(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.25

Associez ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{{(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.26

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.27

Placez ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.28

Multipliez ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(1 - x)}^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.2.28.1

Déplacez ${(1 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 ({(1 - x)}^{\frac{4}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.28.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.28.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.28.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.2.29

Multipliez $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ par $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.1.2.2.30

Additionnez $- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.1.2.3

Soustrayez $\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$x + 3 \sqrt[3]{{(1 - x)}^{1}}$

Étape 2.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$x + 3 \sqrt[3]{1 - x}$

Étape 2.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Le graphe est concave vers le bas car la dérivée seconde est négative.

Le graphe est concave vers le bas

Étape 4