Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $y = x^{4} \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.1.3.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.3.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Étape 2.1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Étape 2.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.1.2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 2.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.2.5

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.2.6

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 2.1.2.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.2.6.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez

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Étape 2.1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Étape 2.1.2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.3.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

Étape 2.1.2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$ .

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$

Étape 2.2.2

Soustrayez $7 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$

Étape 2.2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ par $12 x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ par $12 x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Étape 2.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Étape 2.2.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Étape 2.2.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{- 7}{12}$

Étape 2.2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{7}{12}$

Étape 2.2.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{7}{12}}$

Étape 2.2.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{7}{12}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{7}{12}} = x$

Étape 2.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{7}{12}}$ .

$x = e^{- \frac{7}{12}}$

Étape 2.2.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{4} \ln (x)$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.28$ dans l’expression.

$f'' (0.28) = 7 {(0.28)}^{2} + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $0.28$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.28) = 7 \cdot 0.0784 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $7$ par $0.0784$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Étape 5.2.1.3

Élevez $0.28$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 \cdot (0.0784 \ln (0.28))$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $12$ par $0.0784$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 0.9408 \ln (0.28)$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez $0.9408 \ln (0.28)$ en déplaçant $0.9408$ dans le logarithme.

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln ({0.28}^{0.9408})$

Étape 5.2.1.6

Élevez $0.28$ à la puissance $0.9408$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln (0.3019161)$

Étape 5.2.2

Additionnez $0.5488$ et $\ln (0.3019161)$ .

$f'' (0.28) = - 0.6488061$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 0.6488061$ .

$- 0.6488061$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ car $f'' (0.28)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 7 {(3)}^{2} + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 7 \cdot 9 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $7$ par $9$ .

$f'' (3) = 63 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Étape 6.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 63 + 12 \cdot (9 \ln (3))$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $12$ par $9$ .

$f'' (3) = 63 + 108 \ln (3)$

Étape 6.2.1.5

Simplifiez $108 \ln (3)$ en déplaçant $108$ dans le logarithme.

$f'' (3) = 63 + \ln (3^{108})$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $63 + \ln (3^{108})$ .

$63 + \ln (3^{108})$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8