Calcul infinitésimal Exemples

Déterminer la concavité y=x-sin(x)
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Find the values where the second derivative is equal to .
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Étape 2.1
Déterminez la dérivée seconde.
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Étape 2.1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 2.1.1.1
Différenciez.
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Étape 2.1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.1.2
Évaluez .
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Étape 2.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
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Étape 2.1.2.1
Différenciez.
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Étape 2.1.2.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2
Évaluez .
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Étape 2.1.2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.3
Additionnez et .
Étape 2.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 2.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2.2
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 2.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 2.2.3.1
La valeur exacte de est .
Étape 2.2.4
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 2.2.5
Soustrayez de .
Étape 2.2.6
Déterminez la période de .
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Étape 2.2.6.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 2.2.6.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 2.2.6.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 2.2.6.4
Divisez par .
Étape 2.2.7
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
Étape 2.2.8
Consolidez les réponses.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 3
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 5
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
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Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
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Étape 5.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 5.2.2
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 6