Calcul infinitésimal Exemples

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Étape 1

Écrivez $y = x {(x - 4)}^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = x {(x - 4)}^{3}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Étape 2.1.1.3.6

Multipliez ${(x - 4)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.1

Factorisez ${(x - 4)}^{2}$ à partir de $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

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Étape 2.1.1.4.1.1

Factorisez ${(x - 4)}^{2}$ à partir de $x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Étape 2.1.1.4.1.2

Factorisez ${(x - 4)}^{2}$ à partir de ${(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Étape 2.1.1.4.1.3

Factorisez ${(x - 4)}^{2}$ à partir de ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Étape 2.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.3

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.4

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.5.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.5.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Étape 2.1.1.4.6

Développez $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.4.7.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.4.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.4.7.5.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.6

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.7

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.8

Multipliez $4$ par $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Étape 2.1.1.4.7.9

Multipliez $16$ par $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Étape 2.1.1.4.8

Soustrayez $32 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Étape 2.1.1.4.9

Additionnez $32 x$ et $64 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $96 x$ par rapport à $x$ est $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $96$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.2.5.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Étape 2.1.2.5.2

Additionnez $12 x^{2} - 72 x + 96$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 72 x + 96$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 72 x + 96 = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} - 72 x + 96$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 72 x + 96 = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 72 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 96 = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $96$ .

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 8 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ .

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 8 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 8$ .

$12 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 2.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 4, 2$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 72 \cdot 0 + 96$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 72 \cdot 0 + 96$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 72 \cdot 0 + 96$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 72$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 96$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 96$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $96$ .

$f'' (0) = 96$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $96$ .

$96$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 2)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3 + 96$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3 + 96$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$f'' (3) = 108 - 72 \cdot 3 + 96$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 72$ par $3$ .

$f'' (3) = 108 - 216 + 96$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $216$ de $108$ .

$f'' (3) = - 108 + 96$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 108$ et $96$ .

$f'' (3) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(2, 4)$ car $f'' (3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(2, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 96$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 96$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $36$ .

$f'' (6) = 432 - 72 \cdot 6 + 96$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 72$ par $6$ .

$f'' (6) = 432 - 432 + 96$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $432$ de $432$ .

$f'' (6) = 0 + 96$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $96$ .

$f'' (6) = 96$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $96$ .

$96$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(4, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(2, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9