Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - x$ , $[0, 4]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = x^{3} - x$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, 4)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, 4)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, 4)$ car la dérivée est continue sur $(0, 4)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, 4]$ et différentiable sur $(0, 4)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, 4]$ et différentiable sur $(0, 4)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, 4]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3} - (0)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - (0)$

Étape 7.2.2

Soustrayez $0$ de $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[0, 4]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = {(4)}^{3} - (4)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (4) = 64 - (4)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (4) = 64 - 4$

Étape 8.2.2

Soustrayez $4$ de $64$ .

$f (4) = 60$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $60$ .

$60$

Étape 9

Résolvez $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (4) + f (0))}{- (4 + 0)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(60) - (0)}{(4) - (0)}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60 + 0}{4 - (0)}$

Étape 9.1.1.2

Additionnez $60$ et $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 - (0)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 + 0}$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4}$

Étape 9.1.3

Divisez $60$ par $4$ .

$3 x^{2} - 1 = 15$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 15 + 1$

Étape 9.2.2

Additionnez $15$ et $1$ .

$3 x^{2} = 16$

Étape 9.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 16$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 16$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Étape 9.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{3}$

Étape 9.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Étape 9.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

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Étape 9.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{16}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Étape 9.5.3

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.5.4.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 9.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 9.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 9.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 4$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 4$

Étape 11

Il y a une droite tangente sur $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 4$ .

Il y a une droite tangente sur $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 4$

Étape 12