Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{\frac{1}{3}}

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ ,

[- 1, 1]

$[- 1, 1]$

Étape 1

f

$f$ est continu sur l’intervalle

[a, b]

$[a, b]$ et différentiable sur

(a, b)

$(a, b)$ , au moins un nombre réel

c

$c$ existe sur l’intervalle

(a, b)

$(a, b)$ de telle sorte que

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur

$x = c$ et la pente de la droite passant par les points

$(a, f (a))$ et

$(b, f (b))$ .

$f (x)$ est continu sur

$[a, b]$

et si

$f (x)$ différentiable sur

$(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point,

$c$ dans

$[a, b]$ :

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ est continu.

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Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur

$[- 1, 1]$ ou non, déterminez le domaine de

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Étape 2.1.1.2

Toute valeur élevée à

$1$ est la base elle-même.

$\sqrt[3]{x}$

Étape 2.1.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur

$[- 1, 1]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.1.2

Pour écrire

$- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.1.3

Associez

$- 1$ et

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez

$3$ de

$1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Étape 3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.1.7

Simplifiez

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.7.2

Multipliez

$\frac{1}{3}$ par

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.2

La dérivée première de

$f (x)$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur

$(- 1, 1)$ .

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Étape 4.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur

$(- 1, 1)$ ou non, déterminez le domaine de

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 4.1.2

Définissez le dénominateur dans

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 4.1.3

Résolvez

$x$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1.3.2.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt[3]{x^{2}}$ comme

$x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.2.2.1

Simplifiez

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à

$3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.2

Élevez

$3$ à la puissance

$3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.2.3.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$27 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.3

Résolvez

$x$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Divisez chaque terme dans

$27 x^{2} = 0$ par

$27$ et simplifiez.

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Étape 4.1.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans

$27 x^{2} = 0$ par

$27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de

$27$ .

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Étape 4.1.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.1.2.1.2

Divisez

$x^{2}$ par

$1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.3.1.3.1

Divisez

$0$ par

$27$ .

$x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.1.3.3.3

Simplifiez

$\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.1.3.3.3.1

Réécrivez

$0$ comme

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.1.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.1.3.3.3.3

Plus ou moins

$0$ est

$0$ .

$x = 0$

Étape 4.1.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

$x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 4.2

$f' (x)$ n’est pas continu sur

$(- 1, 1)$ car

$0$ n’est pas dans le domaine de

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

La fonction n’est pas continue.

Étape 5

La fonction n’est pas différentiable sur

$(- 1, 1)$ car la dérivée

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ est continue sur

$(- 1, 1)$ .

La fonction n’est pas différentiable.

Étape 6