Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ est continu.

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Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[- 1, 1]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Étape 2.1.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\sqrt[3]{x}$

Étape 2.1.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[- 1, 1]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Étape 3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.1.7

Simplifiez

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(- 1, 1)$ .

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Étape 4.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $(- 1, 1)$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 4.1.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 4.1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 4.1.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 4.1.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.1.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.1.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.1.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.1.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.1.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 4.2

$f' (x)$ n’est pas continu sur $(- 1, 1)$ car $0$ n’est pas dans le domaine de $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

La fonction n’est pas continue.

Étape 5

La fonction n’est pas différentiable sur $(- 1, 1)$ car la dérivée $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ est continue sur $(- 1, 1)$ .

La fonction n’est pas différentiable.

Étape 6