Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 1$ , $[5, 11]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = x^{2} + 1$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[5, 11]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.1.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x$ .

$2 x$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(5, 11)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(5, 11)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(5, 11)$ car la dérivée est continue sur $(5, 11)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[5, 11]$ et différentiable sur $(5, 11)$ .

$f (x)$ est continu sur $[5, 11]$ et différentiable sur $(5, 11)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[5, 11]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = {(5)}^{2} + 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = 25 + 1$

Étape 7.2.2

Additionnez $25$ et $1$ .

$f (5) = 26$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $26$ .

$26$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[5, 11]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $11$ dans l’expression.

$f (11) = {(11)}^{2} + 1$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f (11) = 121 + 1$

Étape 8.2.2

Additionnez $121$ et $1$ .

$f (11) = 122$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $122$ .

$122$

Étape 9

Résolvez $2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $2 x = \frac{- (f (11) + f (5))}{- (11 + 5)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $26$ .

$2 x = \frac{122 - 26}{(11) - (5)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$2 x = \frac{122 - 26}{11 - 5}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $26$ de $122$ .

$2 x = \frac{96}{11 - 5}$

Étape 9.1.4

Soustrayez $5$ de $11$ .

$2 x = \frac{96}{6}$

Étape 9.1.5

Divisez $96$ par $6$ .

$2 x = 16$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 16$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 16$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16}{2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Divisez $16$ par $2$ .

$x = 8$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = 8$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 5$ et $b = 11$ .

Il y a une droite tangente sur $x = 8$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 5$ et $b = 11$

Étape 11