Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ est continu.

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Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 8]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 2.1.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[1, 8]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Étape 3.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Étape 3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Étape 3.1.7

Simplifiez

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(1, 8)$ .

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Étape 4.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $(1, 8)$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 4.1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 4.1.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Étape 4.1.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Étape 4.1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 x = 0^{3}$

Étape 4.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x = 0$

Étape 4.1.3.3

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 4.1.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 4.1.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Étape 4.1.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.3.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x = 0$

Étape 4.1.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(1, 8)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(1, 8)$ car la dérivée est continue sur $(1, 8)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[1, 8]$ et différentiable sur $(1, 8)$ .

$f (x)$ est continu sur $[1, 8]$ et différentiable sur $(1, 8)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[1, 8]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[1, 8]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 8.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (8) = 2^{2}$

Étape 8.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (8) = 4$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 9

Résolvez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

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Étape 9.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

Étape 9.1.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

Étape 9.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 9.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

Étape 9.2.2

Comme $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $3, 7$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{\frac{1}{3}}$ .

Étape 9.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 9.2.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 9.2.5

$7$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $7$ .

$7$ est un nombre premier

Étape 9.2.6

Le plus petit multiple commun de $3, 7$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3 \cdot 7$

Étape 9.2.7

Multipliez $3$ par $7$ .

$21$

Étape 9.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{1}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{1}{3}}$

Étape 9.2.9

Le plus petit multiple commun pour $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ est la partie numérique $21$ multipliée par la partie variable.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 9.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ par $21 x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 9.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ par $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.2.3

Associez $7$ et $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.2.4

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.2.5

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 9.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 9.3.3.1.1

Factorisez $7$ à partir de $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Étape 9.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Étape 9.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 9.4

Résolvez l’équation.

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Étape 9.4.1

Réécrivez l’équation comme $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

Étape 9.4.2

Divisez chaque terme dans $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 9.4.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ par $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Étape 9.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Étape 9.4.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

Étape 9.4.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Étape 9.4.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.4.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 9.4.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 9.4.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Étape 9.4.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.4.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Étape 9.4.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Étape 9.4.4.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Étape 9.4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.4.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{14}{9})}^{3}$ .

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Étape 9.4.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{14}{9}$ .

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

Étape 9.4.4.2.1.2

Élevez $14$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

Étape 9.4.4.2.1.3

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{2744}{729}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{2744}{729}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 8$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{2744}{729}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 8$

Étape 11