Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = e^{- 2 x}$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 3.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Étape 3.1.2.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, 2)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, 2)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, 2)$ car la dérivée est continue sur $(0, 2)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, 2]$ et différentiable sur $(0, 2)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, 2]$ et différentiable sur $(0, 2)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, 2]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Étape 7.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[0, 2]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Étape 9

Résolvez $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

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Étape 9.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $e^{4}$ .

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ par $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Étape 9.1.1.2

Associez.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Étape 9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{4}$ .

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Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez $e^{4} \cdot (1)$ comme ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4.4

Simplifiez

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Étape 9.1.4.4.1

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4.4.3

Réécrivez $e^{2} \cdot 1$ comme ${(e \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4.4.5

Simplifiez

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Étape 9.1.4.4.5.1

Multipliez $e$ par $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.4.4.5.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Étape 9.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.5.1

Factorisez $e^{4}$ à partir de $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Étape 9.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Étape 9.1.5.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Étape 9.1.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 9.2.3.2

Associez.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Étape 9.2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.3.3.1

Multipliez $1 + e^{2}$ par $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Étape 9.2.3.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Étape 9.2.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Étape 9.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Étape 9.4

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 9.5

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Aucune solution

Étape 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

Étape 11