Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ est continu.

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Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[- 2, 2]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

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Étape 2.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 6 = 0$

Étape 2.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 6$

Étape 2.1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Étape 2.1.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (6)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Étape 2.1.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Étape 2.1.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.1.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{6}$

Étape 2.1.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{6}$

Étape 2.1.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Étape 2.1.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.2.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6

Simplifiez

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Étape 3.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 3.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.1.6.3.2.2

Additionnez $12 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(- 2, 2)$ .

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Étape 4.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $(- 2, 2)$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

Étape 4.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1.2.1

Définissez le $x^{2} + 6$ égal à $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Étape 4.1.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 6$

Étape 4.1.2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Étape 4.1.2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Étape 4.1.2.2.3.1

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Étape 4.1.2.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (6)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Étape 4.1.2.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Étape 4.1.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{6}$

Étape 4.1.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{6}$

Étape 4.1.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Étape 4.1.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(- 2, 2)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(- 2, 2)$ car la dérivée est continue sur $(- 2, 2)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[- 2, 2]$ et différentiable sur $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 2]$ et différentiable sur $(- 2, 2)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[- 2, 2]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Étape 8

Résolvez $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Étape 8.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

Étape 8.1.4

Divisez $0$ par $5$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

Étape 8.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

Étape 8.1.6

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

Étape 8.1.7

Divisez $0$ par $4$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ par ${(x^{2} + 6)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ par ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $0$ par ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$12 x = 0$

Étape 8.4

Divisez chaque terme dans $12 x = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 8.4.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 0$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 8.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Étape 8.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

$x = 0$

Étape 9

Il y a une droite tangente sur $x = 0$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = - 2$ et $b = 2$ .

Il y a une droite tangente sur $x = 0$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = - 2$ et $b = 2$

Étape 10