Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

Étape 1

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f' (x)$ est continu sur $[0, 7]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x + 2 d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + 2 x]_{0}^{7})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $7$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{7})$

Étape 11.2

Évaluez $2 x$ sur $7$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 11.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} + 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.5

Additionnez $\frac{49}{2}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.6

Associez $2$ et $\frac{49}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.7

Multipliez $2$ par $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{98}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.8

Annulez le facteur commun à $98$ et $2$ .

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Étape 11.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $98$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{49}{1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.8.2.4

Divisez $49$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.9

Multipliez $2$ par $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 - 2 \cdot 0)$

Étape 11.3.10

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 + 0)$

Étape 11.3.11

Additionnez $14$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14)$

Étape 11.3.12

Additionnez $49$ et $14$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (63)$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 0} \cdot 63$

Étape 12.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 63$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 13.1

Factorisez $7$ à partir de $63$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (9))$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 9)$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 9$

Étape 14