Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ , $[- 3, 3]$

Étape 1

Déterminez la dérivée de $f (x) = 9 x^{3} + 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{3} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{3}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$27 x^{2} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $27 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 27 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $27 x^{2}$ .

$27 x^{2}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f' (x)$ est continu sur $[- 3, 3]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 27 x^{2} d x)$

Étape 6

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , placez $27$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 27}{3}))$

Étape 8.2.2.4

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

Étape 8.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

Étape 8.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

Étape 8.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 9}{1}))$

Étape 8.2.2.4.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Étape 8.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Étape 8.2.2.6

Additionnez $9$ et $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \cdot 18)$

Étape 8.2.2.7

Multipliez $27$ par $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (486)$

Étape 9

Additionnez $3$ et $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 486$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Factorisez $6$ à partir de $486$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (81))$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 81)$

Étape 10.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 81$

Étape 11