Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[1, 1]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 3.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $9 x^{2} - 2$ .

$9 x^{2} - 2$

Étape 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $Aucune solution$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $Aucune solution$ car la dérivée est continue sur $Aucune solution$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[1, 1]$ et différentiable sur $Aucune solution$ .

Aucune solution

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[1, 1]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Étape 7.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (1) = 1$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 8

L’équation a une fraction indéfinie.

Indéfini

Étape 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

Étape 10