Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 26}{x - 5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 7 x + 26$ et $g (x) = x - 5$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) \frac{d}{d x} (x^{2} - 7 x + 26) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 7 x + 26$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [26]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} (26)) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Comme $26$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $26$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Additionnez $2 x - 7$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) \frac{d}{d x} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 26)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.1

Développez $(x - 5) (2 x - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 7) - 5 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 7 - 5 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 7 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 7 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 7 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 7$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x - 10 x - 5 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x - 10 x + 35 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Soustrayez $10 x$ de $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 17 x + 35 - x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 17 x + 35 - x^{2} + 7 x - 1 \cdot 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $26$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 17 x + 35 - x^{2} + 7 x - 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 17 x + 35 + 7 x - 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Additionnez $- 17 x$ et $7 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 10 x + 35 - 26}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.4

Soustrayez $26$ de $35$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $x^{2} - 10 x + 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $9$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 9, - 1$

Étape 1.1.3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 9) (x - 1)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 9) (x - 1)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 9) (x - 1)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 9$ et $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} ((x - 9) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.4.2

Multipliez $x - 9$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 9)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.7

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.2.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 9 + x - 1) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 9 - 1) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.4.8.4

Soustrayez $1$ de $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - (x - 9) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - (x - 9) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - (x - 9) (x - 1) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.6.2

Factorisez $x - 5$ à partir de ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $x - 5$ à partir de ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 (x - 9) (x - 1) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.6.2.2

Factorisez $x - 5$ à partir de $- 2 (x - 9) (x - 1) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.6.2.3

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 1.2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $x - 5$ à partir de ${(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.11.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 (x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.12.2.1.1

Développez $(x - 5) (2 x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.12.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.12.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.12.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.12.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.2.1.3

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.2.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 + (- 2 x - 2 \cdot - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 + (- 2 x + 18) (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.4

Développez $(- 2 x + 18) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.12.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x (x - 1) + 18 (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 18 (x - 1)}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 18 x + 18 \cdot - 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.12.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.12.2.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.12.2.1.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 18 x + 18 \cdot - 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 18 x + 18 \cdot - 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 2 x + 18 x + 18 \cdot - 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.5.1.3

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 2 x + 18 x - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.1.5.2

Additionnez $2 x$ et $18 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x - 18$ .

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Étape 1.2.12.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.2.2

Additionnez $- 20 x + 50$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.2.3

Additionnez $- 20 x$ et $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50 - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.2.4

Additionnez $0$ et $50$ .

$f'' (x) = \frac{50 - 18}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.2.12.2.3

Soustrayez $18$ de $50$ .

$f'' (x) = \frac{32}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{32}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{32}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{32}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{32}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$32 = 0$

Étape 2.3

Comme $32 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion