Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 1}$ comme ${(x^{2} - 1)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{- 1})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} x$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.5.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 1.1.5.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de ${(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.16

Associez $- 2$ et $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18

Simplifiez

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Étape 1.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{- 6 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 6 x^{2} - 2 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 x^{2} = 2$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{2} = 2$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{2} = 2$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{- 6}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 6$ .

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Étape 2.3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Étape 2.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{- 3}$

Étape 2.3.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Étape 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{3}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Étape 2.3.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Étape 2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Étape 2.3.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 2.3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.4.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.3.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.3.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion