Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Étape 1.1.9

Simplifiez

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Étape 1.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.2.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.2.4.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 1) (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 1.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9

Simplifiez

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Étape 1.2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.9.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2) (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.2

Développez $(- 2 x - 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.9.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.9.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.9.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.9.2.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 2) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.3.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2) x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 2 x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.9.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.2.9.2.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 2 x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.2.3

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 1.2.9.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Étape 1.2.9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.9.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.2.9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.2.9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion