Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4.5.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.2.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.7

Simplifiez

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Étape 1.1.5.2.1.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.5.2.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.2.1.8.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.5.2.1.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 1.1.5.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.2.2

Additionnez $- 4 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1.5.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.4

Annulez le facteur commun à $- x + 1$ et ${(x - 1)}^{4}$ .

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Étape 1.1.5.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.4.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.4.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.4.5

Factorisez $x - 1$ à partir de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.5.4.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.5.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.5.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.5.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez ${(x - 1)}^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.5.2

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.5.2.2

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.5.2.3

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.1

Factorisez ${(x - 1)}^{2}$ à partir de ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.10

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.10.3

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.10.4

Associez $- 2$ et $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11

Simplifiez

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Étape 1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.11.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x - 2$ .

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Étape 1.2.11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.7

Réécrivez $- (2 x + 1)$ comme $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.2.11.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Étape 1.2.11.10

Multipliez $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (2 x + 1) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 x + 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 x + 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $2 x + 1$ par $1$ .

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- \frac{1}{2}$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.4.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Étape 3.1.2.2.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Étape 3.1.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Étape 3.1.2.2.11

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

Étape 3.1.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

Étape 3.1.2.5

La réponse finale est $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{1}{2}$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ est $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.6$ dans l’expression.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $- 1.2$ et $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Élevez $- 1.6$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 0.2$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $- 0.4$ par $6.5536$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- 0.06103515$ .

$- 0.06103515$

Étape 5.3

Sur $- 0.6$ , la dérivée seconde est $- 0.06103515$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Diminue sur $(- \infty, - \frac{1}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{1}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.4$ dans l’expression.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 0.8$ et $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $- 1.4$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.2$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $0.4$ par $3.8416$ .

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $0.10412328$ .

$0.10412328$

Étape 6.3

Sur $- 0.4$ , la dérivée seconde est $0.10412328$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(- \frac{1}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Étape 8