Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- 1})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 1.1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ comme ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.4.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.2.4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot 0$

Étape 1.2.4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + 0$

Étape 1.2.4.7.2

Additionnez $2 {(x + 3)}^{- 3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 3)}^{3}})$

Étape 1.2.5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion