Calcul infinitésimal Exemples

$8 y + \sin (y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (8 y + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 y + \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 y$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 y' + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$8 y' + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$8 y' + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$8 y' + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 y' + \cos (y) y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cos (y) y' + 8 y'$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\cos (y) y' + 8 y' = 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (y) y' + 8 y'$ .

$y' \cos (y) + 8 y' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (y) + 8 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (y)$ .

$y' (\cos (y)) + 8 y' = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $8 y'$ .

$y' (\cos (y)) + y' \cdot 8 = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\cos (y)) + y' \cdot 8$ .

$y' (\cos (y) + 8) = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (y) + 8) = 1$ par $\cos (y) + 8$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (y) + 8) = 1$ par $\cos (y) + 8$ .

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (y) + 8$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$