Calcul infinitésimal Exemples

$1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - x^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - x^{- 2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.3.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.3.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.3.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.3.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0$

Étape 2.1.3.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$0 - x^{- 2} + 2 x^{- 3}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3}$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.3.1

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.2.1

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 2.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 2.2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 2.2.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 2.2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 2.2.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$2 x^{- 3} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Étape 2.2.3.8

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 x^{- 3} - 6 x^{- 4}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.2.4.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.3.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Étape 2.2.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, x^{4}, 1$

Étape 3.2.2

Comme $x^{3}, x^{4}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{3}, x^{4}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 3.2.6

Les facteurs pour $x^{3}$ sont $x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $3$ fois.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $3$ fois.

Étape 3.2.7

Les facteurs pour $x^{4}$ sont $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $4$ fois.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $4$ fois.

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{3}, x^{4}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Étape 3.2.9

Simplifiez $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Étape 3.2.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Étape 3.2.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.9.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Étape 3.2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Étape 3.2.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Étape 3.2.9.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.9.3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.2.9.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Étape 3.2.9.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1}$

Étape 3.2.9.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ par $x^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}} = 0$ par $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{4} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 3.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 x - \frac{6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{x^{4}}$ dans le numérateur.

$2 x + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x - 6 = 0 x^{4}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{4}$ .

$2 x - 6 = 0$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 6$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $6$ par $2$ .

$x = 3$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $3$ dans $f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (3) = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (3) = \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9}$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9}$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9}$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (3) = \frac{9}{9} + \frac{3}{9} - \frac{1}{9}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{9 + 3 - 1}{9}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $9$ et $3$ .

$f (3) = \frac{12 - 1}{9}$

Étape 4.1.2.4.2

Soustrayez $1$ de $12$ .

$f (3) = \frac{11}{9}$

Étape 4.1.2.5

La réponse finale est $\frac{11}{9}$ .

$\frac{11}{9}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $3$ dans $f (x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ est $(3, \frac{11}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(3, \frac{11}{9})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.9$ dans l’expression.

$f'' (2.9) = \frac{2}{{(2.9)}^{3}} - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2.9$ à la puissance $3$ .

$f'' (2.9) = \frac{2}{24.389} - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $2$ par $24.389$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - \frac{6}{{(2.9)}^{4}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2.9$ à la puissance $4$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - \frac{6}{70.7281}$

Étape 6.2.1.4

Divisez $6$ par $70.7281$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - 1 \cdot 0.08483191$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0.08483191$ .

$f'' (2.9) = 0.08200418 - 0.08483191$

Étape 6.2.2

Soustrayez $0.08483191$ de $0.08200418$ .

$f'' (2.9) = - 0.00282773$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.00282773$ .

$- 0.00282773$

Étape 6.3

Sur $2.9$ , la dérivée seconde est $- 0.00282773$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 3)$

Diminue sur $(- \infty, 3)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3.1$ dans l’expression.

$f'' (3.1) = \frac{2}{{(3.1)}^{3}} - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (3.1) = \frac{2}{29.791} - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $2$ par $29.791$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - \frac{6}{{(3.1)}^{4}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $3.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - \frac{6}{92.3521}$

Étape 7.2.1.4

Divisez $6$ par $92.3521$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - 1 \cdot 0.06496874$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0.06496874$ .

$f'' (3.1) = 0.06713436 - 0.06496874$

Étape 7.2.2

Soustrayez $0.06496874$ de $0.06713436$ .

$f'' (3.1) = 0.00216562$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.00216562$ .

$0.00216562$

Étape 7.3

Sur $3.1$ , la dérivée seconde est $0.00216562$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(3, \frac{11}{9})$ .

$(3, \frac{11}{9})$

Étape 9