Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$

Étape 1

Écrivez $x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3 + 0$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 2.2.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 24 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} + 24 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.4.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$12 x^{2} + 24 x - 36 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} + 24 x - 36 + 0$

Étape 2.2.5.2

Additionnez $12 x^{2} + 24 x - 36$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 x - 36$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 24 x - 36$ .

$12 x^{2} + 24 x - 36$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 24 x - 36 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} + 24 x - 36 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 24 x - 36$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 24 x - 36 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $24 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (2 x) - 36 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 36$ .

$12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 (2 x)$ .

$12 (x^{2} + 2 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} + 2 x) + 12 \cdot - 3$ .

$12 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 3.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, - 3$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 18 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 4 {(1)}^{3} - 18 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 4 \cdot 1 - 18 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 18 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 4.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 4 - 18 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 18 - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 18 - 3 + 4$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (1) = 5 - 18 - 3 + 4$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $18$ de $5$ .

$f (1) = - 13 - 3 + 4$

Étape 4.1.2.2.3

Soustrayez $3$ de $- 13$ .

$f (1) = - 16 + 4$

Étape 4.1.2.2.4

Additionnez $- 16$ et $4$ .

$f (1) = - 12$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ est $(1, - 12)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, - 12)$

Étape 4.3

Remplacez $- 3$ dans $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 4 {(- 3)}^{3} - 18 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 4$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = 81 + 4 {(- 3)}^{3} - 18 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 4$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = 81 + 4 \cdot - 27 - 18 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 4$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$f (- 3) = 81 - 108 - 18 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 + 4$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = 81 - 108 - 18 \cdot 9 - 3 \cdot - 3 + 4$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $- 18$ par $9$ .

$f (- 3) = 81 - 108 - 162 - 3 \cdot - 3 + 4$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f (- 3) = 81 - 108 - 162 + 9 + 4$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $108$ de $81$ .

$f (- 3) = - 27 - 162 + 9 + 4$

Étape 4.3.2.2.2

Soustrayez $162$ de $- 27$ .

$f (- 3) = - 189 + 9 + 4$

Étape 4.3.2.2.3

Additionnez $- 189$ et $9$ .

$f (- 3) = - 180 + 4$

Étape 4.3.2.2.4

Additionnez $- 180$ et $4$ .

$f (- 3) = - 176$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $- 176$ .

$- 176$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 3$ dans $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x + 4$ est $(- 3, - 176)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 3, - 176)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1, - 12), (- 3, - 176)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.1$ dans l’expression.

$f'' (- 3.1) = 12 {(- 3.1)}^{2} + 24 (- 3.1) - 36$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.1) = 12 \cdot 9.61 + 24 (- 3.1) - 36$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 115.32 + 24 (- 3.1) - 36$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 115.32 - 74.4 - 36$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $74.4$ de $115.32$ .

$f'' (- 3.1) = 40.92 - 36$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $36$ de $40.92$ .

$f'' (- 3.1) = 4.92$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $4.92$ .

$4.92$

Étape 6.3

Sur $- 3.1$ , la dérivée seconde est $4.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2} + 24 (- 1) - 36$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = 12 \cdot 1 + 24 (- 1) - 36$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (- 1) = 12 + 24 (- 1) - 36$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = 12 - 24 - 36$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $24$ de $12$ .

$f'' (- 1) = - 12 - 36$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $36$ de $- 12$ .

$f'' (- 1) = - 48$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 48$ .

$- 48$

Étape 7.3

Sur $- 1$ , la dérivée seconde est $- 48$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 3, 1)$

Diminue sur $(- 3, 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1$ dans l’expression.

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} + 24 (1.1) - 36$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 + 24 (1.1) - 36$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $12$ par $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 + 24 (1.1) - 36$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $24$ par $1.1$ .

$f'' (1.1) = 14.52 + 26.4 - 36$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $14.52$ et $26.4$ .

$f'' (1.1) = 40.92 - 36$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $36$ de $40.92$ .

$f'' (1.1) = 4.92$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $4.92$ .

$4.92$

Étape 8.3

Sur $1.1$ , la dérivée seconde est $4.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 3, - 176), (1, - 12)$ .

$(- 3, - 176), (1, - 12)$

Étape 10