Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.2.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ et $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Étape 1.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.5

Multipliez $8$ par $20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.6

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.7

Multipliez $16$ par $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.8

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.9

Multipliez $32$ par $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.2.10

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.4.1

Multipliez $12$ par $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Étape 2.2.1.4.2

Multipliez $60$ par $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Étape 2.2.1.4.3

Multipliez $160$ par $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Étape 2.2.1.4.4

Multipliez $240$ par $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Étape 2.2.1.4.5

Multipliez $192$ par $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Étape 2.2.1.4.6

Multipliez $7$ par $64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Étape 2.2.2

Soustrayez $7$ de $448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Étape 2.3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - 3, - 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $7$ par $64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Étape 5.2.2

Soustrayez $7$ de $448$ .

$h' (- 4) = 441$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $441$ .

$441$

Étape 5.3

Sur $x = - 4$ la dérivée est $441$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 3)$ depuis $h' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Étape 6.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $7$ par $0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Étape 6.2.2

Soustrayez $7$ de $0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 7$ .

$- 7$

Étape 6.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- 7$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 3, - 1)$ .

Diminue sur $(- 3, - 1)$ depuis $h' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Étape 7.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $7$ par $64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Étape 7.2.2

Soustrayez $7$ de $448$ .

$h' (0) = 441$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $441$ .

$441$

Étape 7.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $441$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $h' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Diminue sur : $(- 3, - 1)$

Étape 9