Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Étape 1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - x^{2}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.5.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1, - 1$ .

$1, - 1$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + 1$

Étape 6.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Étape 6.2.4

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f' (- 2) = \frac{3}{4}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 6.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $\frac{3}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Étape 7.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Étape 7.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})} + 1$

Étape 7.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{2^{2}})} + 1$

Étape 7.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{4})} + 1$

Étape 7.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Étape 7.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- (1 \cdot 4)$ .

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Étape 7.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Étape 7.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 7.3

Sur $x = - \frac{1}{2}$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1, 0)$ .

Diminue sur $(- 1, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1^{2}}{2^{2}}} + 1$

Étape 8.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{2^{2}}} + 1$

Étape 8.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Étape 8.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- (1 \cdot 4)$ .

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Étape 8.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Étape 8.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 3$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 1)$ .

Diminue sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - \frac{1}{{(2)}^{2}} + 1$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{4} + 1$

Étape 9.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 9.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Étape 9.2.2.3

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f' (2) = \frac{3}{4}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 9.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $\frac{3}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Diminue sur : $(- 1, 0), (0, 1)$

Étape 11