Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{4} x^{4} - 18 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{1}{4} x^{4} - 18 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 18 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} - 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Étape 2.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Étape 2.1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 18 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 18 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$f' (x) = x^{3} - 36 x$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} - 36 x$ .

$x^{3} - 36 x$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} - 36 x = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{3} - 36 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 36 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 36 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ .

$x (x^{2} - 36) = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez.

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Étape 3.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Étape 3.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 3.6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 6) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 6, 6$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f' (- 7) = {(- 7)}^{3} - 36 \cdot - 7$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$f' (- 7) = - 343 - 36 \cdot - 7$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $- 7$ .

$f' (- 7) = - 343 + 252$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 343$ et $252$ .

$f' (- 7) = - 91$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 91$ .

$- 91$

Étape 6.3

Sur $x = - 7$ la dérivée est $- 91$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 6)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 6)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 6, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 36 \cdot - 3$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 108$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 27$ et $108$ .

$f' (- 3) = 81$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $81$ .

$81$

Étape 7.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $81$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 6, 0)$ .

Augmente sur $(- 6, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 36 \cdot 3$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 27 - 36 \cdot 3$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $3$ .

$f' (3) = 27 - 108$

Étape 8.2.2

Soustrayez $108$ de $27$ .

$f' (3) = - 81$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 81$ .

$- 81$

Étape 8.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- 81$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 6)$ .

Diminue sur $(0, 6)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = {(7)}^{3} - 36 \cdot 7$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f' (7) = 343 - 36 \cdot 7$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 36$ par $7$ .

$f' (7) = 343 - 252$

Étape 9.2.2

Soustrayez $252$ de $343$ .

$f' (7) = 91$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $91$ .

$91$

Étape 9.3

Sur $x = 7$ la dérivée est $91$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(6, \infty)$ .

Augmente sur $(6, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 6, 0), (6, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Étape 11