Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 + x$ et $g (x) = 3 - x$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $3 - x$ par $1$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.10

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.10.2

Multipliez $2 + x$ par $1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.12

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.12.1

Multipliez $2 + x$ par $1$ .

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.12.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.12.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.12.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.12.4.1

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 2.1.2.12.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 = 0$

Étape 3.3

Comme $5 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

Étape 5.2.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- (x - 3)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ par ${(- 1)}^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ par ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(- 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez ${(x - 3)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 5.2.3

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.2.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ augmente et diminue est $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

Étape 7.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$f' (2) = 5$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $5$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, 3)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Étape 8.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$f' (4) = 5$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 8.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $5$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Étape 10