Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{1}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 3.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{1}{x}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Étape 8.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Étape 8.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Étape 10