Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x - 4)}^{3}$

Étape 1

Écrivez $y = {(x - 4)}^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 {(x - 4)}^{2}$ .

$3 {(x - 4)}^{2}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez ${(x - 4)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.3

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $4$ .

$4$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = {(x - 4)}^{3}$ augmente et diminue est $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 3 {((3) - 4)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f' (3) = 3 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = 3 \cdot 1$

Étape 6.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (3) = 3$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 4)$ .

Augmente sur $(- \infty, 4)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = 3 {((5) - 4)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f' (5) = 3 \cdot 1^{2}$

Étape 7.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (5) = 3 \cdot 1$

Étape 7.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (5) = 3$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 7.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(4, \infty)$ .

Augmente sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Étape 9