Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 6 x + 6$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x^{2} - 2 x + 2$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 3.8.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 3.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i$

Étape 3.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i, 1 - i$

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Aucun point ne rend la dérivée $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 6

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f' (1) = - 3 + 6$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$f' (1) = 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 7

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ est $3$ , qui est positif, si bien que le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Augmente sur $(- \infty, \infty)$ depuis $3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$

Étape 8

Augmente sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours croissante.

Toujours croissant

Étape 9