Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Étape 1

Écrivez $y = x - 4 \ln (3 x - 9)$ comme une fonction.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4 \ln (3 x - 9)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \ln (3 x - 9)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x - 9$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 2.1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 2.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 2.1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 2.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 2.1.2.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Étape 2.1.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Étape 2.1.2.8

Additionnez $3$ et $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Étape 2.1.2.9

Associez $\frac{1}{3 x - 9}$ et $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Étape 2.1.2.10

Annulez le facteur commun à $3$ et $3 x - 9$ .

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Étape 2.1.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Étape 2.1.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Étape 2.1.2.10.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Étape 2.1.2.10.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Étape 2.1.2.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Étape 2.1.2.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Étape 2.1.2.11

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Étape 2.1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Étape 2.1.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Étape 2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Étape 2.1.3.3

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 7 = 0$

Étape 3.3

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $7$ .

$7$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 7}{x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 3) \cup (3, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 7

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(3, 7)$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{(5) - 7}{(5) - 3}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $7$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{- 2}{5 - 3}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{- 2}{2}$

Étape 8.2.3

Divisez $- 2$ par $2$ .

$f' (5) = - 1$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 8.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $- 1$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(3, 7)$ .

Diminue sur $(3, 7)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(3, 7), (7, \infty)$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = \frac{(8) - 7}{(8) - 3}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $7$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{8 - 3}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{5}$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5}$

Étape 10.3

Sur $x = 8$ la dérivée est $\frac{1}{5}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(7, \infty)$ .

Augmente sur $(7, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(7, \infty)$

Diminue sur : $(3, 7)$

Étape 12